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Lineare Algebra I und II by Günther Trautmann

By Günther Trautmann

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Der Ring Z "`uberlagert"' somit alle Ringe Zn; n 2. h. wenn m + n0 = m0 + n. Danach kann man Addition und Multiplikation ohne Fallunterscheidung einfuhren durch (m; n)] + (m0 ; n0)] = (m + m0; n + n0 )] (m; n)] (m0 ; n0)] = (mm0 + nn0 ; mn0 + m0n)]; und zeigen, da diese wohlde niert sind, und da die Ringgesetze erfullt sind. Durch n 7 ! (n; 0)] erhalt man dann die Einbettung N Z. Diese Konstruktion hangt mit der obigen dadurch zusammen, da (0; n) bzw. (n; 0) ausgezeichnete Reprasentanten der Klassen (0; n)] bzw.

Das wiederum zeigt, da e(k1) = e(k2) genau dann, wenn fur die Restklassen in Zn gilt k1 = k2. 9 gibt es dann die eindeutige Abbildung e : Zn ! En mit e(k) = e(k). h. bijektiv. Sie ist auch ein Gruppenisomorphismus, denn e(k1 + k2) = e(k1 + k2 ) = e(k1)e(k2) = e(k1)e(k2). Also haben wir Zn ! 11. Komplexe Exponentialfunktion k $ k: Fur eine reelle Zahl x ist die Exponentialfunktion ex mit ihrer Reihenentwicklung 1 X x ex = wohlbekannt. Es gilt das Exponentialgesetz setzen wir nun =0 ! ex+x0 = exex0 .

Rm ; die durch X X a(x1 ; : : : ; xn) = ( a1 x ; : : : ; am x ) gegeben ist. Diese ist R{linear in dem unten de nierten Sinne, und bevor man nach Losungen und Verfahren sucht, werden erst die allgemeinen Eigenschaften solcher Abbildungen theoretisch zusammengestellt, um schlie lich einen Leitfaden, geeignete Vereinfachungen und Klarheit bei konkreten Fragen zu haben. 1. R{Moduln: Sei (R; +; ) ein Ring und (M; +) eine abelsche Gruppe. M , zusammen mit einer Operation R M ! M , genannt Skalaroperation und geschrieben als ( ; x) 7!

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