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Problems from the book by Titu Andreescu

By Titu Andreescu

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Rn die Abstande der Seitengeraden von 0, so gilt G(R 1 , G(r1 , •• • , Rn} ....... ••• , rn) n "",,-sec-. n - Bezeichnen wir namlich die Eckpunkte in natiirlicher Reihenfolge mit PI' ... , P n , P n + 1 = PI' den Abstand von Pi P H1 undO mit riLden Winkel Pi 0 Pi + 1 mit 2 ai und den Abstand 0 Pi mit Ri und bewegen wir die Punkte Pi und Pi + 1 auf den fest en Geraden 0 Pi bzw. OPi + 1 so, daB der Inhalt des Dreiecks 0 Pi Pi + 1 konstant bleibt, so umhiillen die Geraden Pi Pi + 1 eine Hyperbel.

Die Erfiillung dieses Kriteriums besagt, daB die Flache mit der Gleichung z = I (x, y) elliptisch gekriimmt ist. Zur Entscheidung, ob in dies em Fall I (x, y) konvex oder konkav ist, hat man etwa das Vorzeichen von lu oder 11/1/ zu untersuchen. 1st lu ~ 0 (und folglich auch 11/1/~0), so ist I(x, y) konvex. Dagegen ist im Fall lzap lu ~ 0 unsere Funktion konkav. Sind diese letzteren Bedingungen erfiillt, so ist I(x, y) auch noch im Fall lu/1/1/- 1;11 ~ 0 konvex bzw. konkav. Betrachten wir die Funktion ·z = x« yfJ; x, Y ~ 0, 0 ~ ~,P die mit Riicksicht auf so gilt xiY~ Zz zZ1/1/ - + ...

Wir haben jetzt noeh zu zeigen, daB in (1) Gleiehheit nur fUr eine Ellipse gilt. 1st Tn (I) keine Konstante, so gibt es wegen der Stetigkeit von Tn (t) sieher einen Wert to fUr den T,,(to) > T 2nn sin ~nn ausfallt. Doeh kann - wie SAS [2] gezeigt hat - T,,(t) eine Konstante sein, ohne daB e (t) selbst eine Konstante ist. Wir zeigen, daB in dies em Fall Tn (t) nieht das einbesehriebene n-Eek vom groBtmogliehen Inhalt ist. Setzen wir voraus, daB die Polygone T,,(t) bei keinem Wert von t sieh vergroBern lassen.

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