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Semisimpliziale algebraische Topologie by Klaus Lamotke

By Klaus Lamotke

In diesem Buch werden einige Gebiete der algebraischen Topologie, die guy heute größtenteils zum klassischen Bestand rechnet, mit semi­ simplizialen Methoden in einheitlicher Weise dargestellt. Der Begriff der semisimplizialen Menge ist dabei von grundlegender Bedeutung. Er wurde um 1950 von EILENBERG und ZILBER bei der Untersuchung der singulären Homologietheorie geprägt. Seine Nützlichkeit für die alge­ braische Topologie, und zwar nicht nur für die Homologietheorie, erwies sich bald darauf durch die Arbeiten von DOLD, KAN, MACLANE, MOORE und POSTNIKOV. Durch sie wurde das vorliegende Buch angeregt. Die semisimpliziale Menge steht zwischen der Topologie und der Algebra. Einerseits ist ihre Struktur so "algebraisch", daß guy direkt Homologie-und Homotopiegruppen für sie definieren und allgemeine Zusammenhänge zwischen ihnen beweisen kann. Andererseits haben viele topologische Begriffe, wie z. B. die Faserung oder die Homotopie ein semisimpliziales Gegenstück. Der Zusammenhang zwischen der Topologie und der semisimplizialen Theorie beschränkt sich nicht auf diese Analogie: Es gibt einen Funktor S von der Kategorie der topo­ logischen Räume in die Kategorie der semisimplizialen Mengen, der die topologischen Begriffe in die entsprechenden semisimplizialen über­ führt. "Semisimpliziale algebraische Topologie" bedeutet am Beispiel der singulären Homologietheorie : guy ordnet dem Raum X seine semi­ simpliziale Menge SX zu, definiert die Homologie von SX als singuläre Homologie des Raumes X und folgert die Eigenschaften der singulären Homologietheorie aus denen der Homologie semisimplizialer Mengen. In dieser Weise werden die Homotopietheorie, die Homologie-und Kohomologietheorie semisimplizial entwickelt.

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2) Take the line L passing through R and e = [0, 1, 0] and define P + Q to be the third point of intersection in L ∩ C. Here is a picture that illustrates this group law: R Q L P P+Q L′ Group law on an elliptic curve. 1. The law defined above provides an abelian group structure on the points of C with identity element e = [0, 1, 0]. In fact, the maps + : E × E → E, − : E → E are morphisms. 2-3. 2. An elliptic curve C over K is a one dimensional group variety over K. In fact, there is a rather strong converse to this statement.

1005, viii, 221–255, 2010. S´ eminaire Bourbaki. Volume 2008/2009. Expos´es 997–1011. MR2648680 (2011m:55003) [Hop] M. J. Hopkins. Algebraic topology and modular forms. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), pages 291–317, Beijing, 2002. Higher Ed. Press. MR1989190 (2004g:11032) [Lan] P. S. Landweber, editor. Elliptic curves and modular forms in algebraic topology, volume 1326 of Lecture Notes in Mathematics, Berlin, 1988. Springer-Verlag. MR970278 (91a:57021) [Lur] Jacob Lurie.

The functors ΩG ∗ are examples of generalized homology theories, and the Pontryagin–Thom construction shows they are represented by the Thom spectra M G = {M Gk } = {T h(ρ∗k ξk )}. Here, ξk → BO(k) is the universal k-dimensional vector bundle (ξk = EO(k) ×O(k) Rk ), and for any vector bundle V → X the Thom space T h(V ) is defined as the unit disc bundle modulo the unit sphere bundle D(V )/S(V ). Particularly common examples of G-bordism include oriented bordism, spin bordism, and complex bordism, corresponding to the groups SO(k), Spin(k), and U (k), respectively.

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