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SGA 1: Revetements etales et groupe fondamental by Grothendieck A., et al.

By Grothendieck A., et al.

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7) Nous admettrons ici ce crit`ere, qui est cens´e figurer au paragraphe des plats. Son principal avantage est qu’il ne suppose pas a priori A r´eduit, ni a fortiori int`egre. Ici, on peut d´ej` a supposer dim A = dim B = 0. D’apr`es les rappels du d´ebut du num´ero, les id´eaux premiers p de A qui sont de rang 1 (resp. de rang 2) sont exactement les traces sur A des id´eaux premiers q de B qui sont de rang 1 (resp. de rang 2). 1). Appliquant le crit`ere de Serre, on trouve que A est normal si et seulement si B l’est.

La fi´e (resp. ´etale) alors f ∗ ΩY1 /S → ΩX/S r´eciproque est vraie dans le cas « non ramifi´e », si f est suppos´e localement de type fini. (5) Pour ces formules, cf. 3. ´ ES ´ DIFFERENTIELLES ´ 4. 1), mais peut aussi se voir directement comme le cas ´etale. Consid´erons le diagramme X ∆X/Y / X ×Y X  Y / X ×S X ∆Y /S  / Y ×S Y dans lequel X ×Y X s’identifie au produit fibr´e de Y et X ×S X sur Y ×S Y . Comme f est non ramifi´e, X → X ×Y X est une immersion ouverte, donc le faisceau « conormal » de l’immersion compos´ee ∆X/S de cette derni`ere avec X ×Y X → X ×S X est isomorphe ` a l’image inverse sur X du faisceau conormal pour l’immersion X ×Y X → X ×S X.

Tn ] et X ´etale sur Y [s1 , . . , sm ], la premi`ere hypoth`ese implique donc que Y [s1 , . . , sm ] est ´etale sur Z[t1 , . . , tn ][s1 , . . , sm ] = Z[t1 , . . , sm ], donc X est ´etale sur Z[t1 , . . , sm ], cqfd. 5. — L’entier n qui figure dans d´ef. 1 est bien d´etermin´e, car on constate aussitˆot que c’est la dimension de l’anneau local de x dans sa fibre f −1 f (x) . On l’appelle « dimension relative » de X sur Y . Elle se comporte additivement pour la composition des morphismes.

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